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Demostración de las Relaciones de Kramers-Kronig

En este post demostramos las ecuaciones de Kramers-Kronig, muy importantes en campos como la electroquímica o física de materiales para comprobar la validez experimental de nuestros resultados. En el desarrollo de pilas de combustible estas ecuaciones son fundamentales para comprobar las medidas de impedancia compleja.

Introducción

Las relaciones de Kramers Kronig se pueden utilizar como herramienta de diagnóstico para evaluar la validez de un conjunto particular de datos de impedancia, medida antes de colocar un circuito equivalente mecánico o eléctrico.

Las principales aplicaciones para las relaciones de Kramers-Kronig, o  también conocidas por ecuaciones KK o K-K, son:

  1. Calcular la parte imaginaria de la impedancia cuando sólo se conoce la real, ya que la medición de ésta suele ser menos propensa a errores que la primera.
  2. Evaluar la validez de una impedancia medida cuando tanto los componentes reales como los imaginarios se obtienen experimentalmente.

Conceptos Básicos

Siempre que se intenta analizar un diagrama de impedancia surge la duda de si es correcta la interpretación mediante modelos lineales y estables tales como algunos circuitos eléctricos. La simple inspección visual de los resultados no es suficiente para determinar si éstos son válidos o han sido distorsionados durante la adquisición experimental. Esta duda se resuelve utilizando las relaciones de Kramers-Kronig.

La aplicabilidad de las transformadas de Kramers-Kronig requiere que el sistema objeto de estudio, invariante en el tiempo, cumpla cuatro condiciones:

  1. Causalidad.
  2. Linealidad.
  3. Estabilidad.
  4. Valor finito.

Causalidad

Un sistema es causal si su respuesta no precede a la perturbación. Si a un sistema en reposo se le aplica una perturbation en t = 0, la respuesta del sistema debe ser t = 0 para t < 0. Físicamente esto quiere decir que el sistema no genera ruido independiente de la señal aplicada para t > 0.

Linealidad

Un sistema es lineal si la relación entre la perturbación introducida y la respuesta se puede describir mediante ecuaciones diferenciales lineales. Esto significa que es valido el principio de superposición: la respuesta a una suma de entradas individuales es igual a la suma de respuestas individuales. En los sistemas electroquímicos la relación tensión/corriente es de naturaleza exponencial (ecuación de Butler-Volmer), y para asegurar la linealidad es necesario considerar un regimen de pequeña señal.

Estabilidad

Un sistema electroquímico es estable si cuando cesa la perturbación impuesta vuelve al estado original.

Valor finito

La impedancia debe tener un valor finito en todo el espectro de frecuencia analizado, incluyendo \omega \rightarrow 0 y \omega \rightarrow \infty. Desde un punto de vista practico, la condición de valor finito no es crítica.

Las ecuaciones de Kramers-Kronig

Las integrales de las ecuaciones de Kramers-Kronig se pueden expresar como:

f_1(\omega_0)= \frac{2}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{\omega \cdot f_2(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}d\omega
f_2(\omega_0)= -\frac{2}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{\omega_0\cdot f_1(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}d\omega

La anterior es la forma matemática y la que demostraremos. También se pueden escribir tomando como función compleja la impedancia:

Z_{Re}(\omega_0)= \frac{2}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{\omega \cdot Z_{Im}(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}d\omega
Z_{Im}(\omega_0)= -\frac{2}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{\omega_0\cdot Z_{Re}(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}d\omega

O como:

relaciones_kramers_kronig

El lector puede encontrar más información sobre estas ecuaciones en Referencias (al final de este post). Añado que la sección Conceptos Básicos anterior ha sido obtenida de la referencia 1.

Demostración de las ecuaciones de Kramers-Kronig

Para una función compleja f(z) analítica en el semiplano superior tenemos por la fórmula integral de Cauchy:

 \int_{-\infty}^\infty \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\pi i f(z)

tomando f(z)=f_1+if_2 donde f_1=Re[f(z)]f_2=Im[f(z)] :

\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(z)}{z-z_0}dz=i(f_1+if_2)=if_1+i^2 f_2=-f_2+if_1

Por otro lado, podemos desarrollar la integral teniendo en cuenta que f(z)=f_1+if_2:

\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f_1}{z-z_0}dz+\frac{i}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f_2}{z-z_0}dz

Los dos resultados anteriores deben ser iguales, por lo que podemos igualar la parte real e imaginaria de ambas expresiones llegando a:

f_2=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f_1}{z-z_0}dz\newline f_1=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f_2}{z-z_0}dz

Si nos fijamos, estas son las transformadas de Hilbert.

Las relaciones de Kramers-Kronig son las transformadas de Hilbert, pero reescribiendo la integral sólo en el eje positivo y real x. Esto último es necesario cuando la variable dependiente es la frecuencia.

Si una función tiene la propiedad f(-\omega)=f^* (\omega) podemos reescribir las ecuaciones a una integral positiva:

 f_1(\omega_0)= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f_2(\omega)}{\omega-\omega_0}d\omega= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^0 \frac{f_2(\omega)}{\omega-\omega_0}d\omega + \frac{1}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{f_2(\omega)}{\omega-\omega_0}d\omega \newline = -\frac{1}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{f_2(-\omega)}{\omega+\omega_0}d\omega + \frac{1}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{f_2(\omega)}{\omega-\omega_0}d\omega

Como se observa hemos utilizado la propiedad f_2(-\omega)=-f_2(\omega), que es la parte imaginaria de la función de f(\omega). Podemos seguir desarrollando la integral para llegar a las formas conocidas:

f_1(\omega_0)= \frac{2}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{\omega \cdot f_2(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}d\omega

La obtención de la segunda relación de Kramers-Kronig se realiza de forma completamente idéntica utilizando la propiedad f_1(-\omega)=f_1(\omega). Así, obtenemos las dos ecuaciones que nos dan las relaciones de Kramer-Kronig:

f_1(\omega_0)= \frac{2}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{\omega \cdot f_2(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}d\omega
f_2(\omega_0)= -\frac{2}{\pi}\int_{0}^\infty \frac{\omega_0\cdot f_1(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}d\omega

Referencias

  1. APERADOR, W.; BAUTISTA RUIZ, J. H.  y  PARDO CUERVO, O.. Comportamiento electroquímico de las películas delgadas de CrN/Cr obtenidas variando el potencial bias. Rev. Mex. Ing. Quím [online]. 2012, vol.11, n.1 [citado 06-11-2016], pp.145-154. Disponible en: http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-27382012000100012&lng=es&nrm=iso. ISSN 1665-2738.
  2. Colaboradores de Wikipedia. Relaciones de Kramers-Kronig [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2016 [citado 06-11-2016]. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Relaciones_de_Kramers-Kronig.
  3. Juan Carlos Ruiz Morales, Jesús Canales Vázquez, David Marrero López, Juan Peña Martínez, D. Pére Coll, P. Núñez, Jesús César Rodríguez Placeres, Belén Ballestero Pérez, Virginia I. Dorta-Martín, Cristian Savaniu. Pilas de Combustible de Óxidos Sólidos (SOFC). Centro de la Cultura Popular Canaria.

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Sobre el autor de esta entrada

José Fidel Zamora Carbó

Soy desarrollador web autodidacta y un enamorado de aprender. Después de 3 años como estudiante del grado en Física, dejé mis antiguos estudios para encontrar lo que realmente me apasiona, la Ingeniería Eléctrica. Actualmente estudio 3º del grado en Ingeniería Eléctrica en la UCLM.