catenaria

Ecuación General de un Conductor Tendido entre dos Puntos

Para el estudio estático de los conductores empleados en líneas aéreas de transporte de energía eléctrica, consideraremos al conductor como un hilo pesante, perfectamente flexible e inextensible sometido a las siguientes fuerzas o esfuerzos:

  • Su propio peso.
  • Su tensión mecánica.
  • Sobrecargas eventuales debidas a la acción del viento y/o del hielo.
  • Variaciones de temperatura que tienen su efecto sobre la tensión mecánica.
  • Vibraciones.

La fuerza de tracción en cualquier punto del hilo sometido a diversas fuerzas externas (hielo, viento, etc.) debe ser tangente a la curva de equilibrio en dicho punto.

Así, la forma que adopta dicho hilo, perfectamente flexible, inextensible y sometido a un campo de fuerzas uniforme (fuerzas constantes en magnitud y dirección en todo punto del espacio) tendido entre dos puntos A y B, es una catenaria situada en el plano definido por los puntos A y B.

catenaria

Deducción de la fórmula de la catenaria

Supongamos un hilo con las descritas características y un determinado peso propio p (normalmente dado en daN/m), sujeto en dos puntos, A y B situados al mismo nivel (o desnivel no muy acusado), y sobre dicho hilo supuesto en equilibrio, tomemos un elemento de longitud infinitesimal dl de peso p definido por los puntos M y N (muy próximos entre sí).

Llamemos T_M y T_N a las tensiones en M y N, respectivamente, y designemos por dl al elemento de la curva del hilo, así como por p\cdot dl a la resultante de las fuerzas exteriores que actúen sobre dicho elemento.

Siendo S la sección transversal del conductor, las tensiones mecánicas T_M y T_N vienen definidas por las siguiente expresiones:

T_M=\frac{\overrightarrow{F_M}}{S}

T_N=\frac{\overrightarrow{F_N}}{S}

Puesto que el elemento diferencial de longitud del conductor se encuentra en equilibrio estático, las fuerzas exteriores a él aplicadas tendrán una suma geométrica nula en virtud de la ecuación fundamental de la dinámica de traslación. Dicho de otro modo, la resultante de las fuerzas que actúan sobre dicho trozo de hilo (considerado infinitesimal) debe ser cero:

\sum{\overrightarrow{F}}=0

pudiendo escribir:

 S\cdot\overrightarrow{T_M}+S\cdot\overrightarrow{T_N}+p\cdot dl=0

Descomponiendo las tensiones mecánicas sobre cada eje de coordenadas obtenemos las siguientes expresiones:

  • Eje de abscisas (x) u horizontal:

    T_{Nx}-T_{Mx}=0

  • Eje de ordenadas (y) o vertical:

    T_{Ny}-\frac{p}{S}\cdot dl-T_{My}=0

por otro lado, si el elemento de longitud infinitesimal del conductor considerado tiende a cero (suponemos MN infinitesimalmente próximos) resulta:

\overrightarrow{T_N}=(T_{Nx},T_{Ny},0)=(T_x+dT_x,T_y+dT_y,0)

\overrightarrow{T_M}=(T_{Mx},T_{My},0)=(T_x,T_y,0)

Obsérvese que, como se ha comentado anteriormente, la curva de equilibrio será plana, y estará situada en el plano vertical que pase por A y B.

Concluyendo que:

T_{Nx}-T_{Mx}=T_x+dT_x-T_x=0

dT_x=0

y pudiéndose afirmar entonces que la componente horizontal de la tracción en cualquier punto a lo largo de la curva del hilo es constante:

T_x=T_{Nx}=T_{Mx}=cte

Además, usando la expresión obtenida para el eje de ordenadas o vertical (y) anteriomente se tiene:

-T_{y}+T_{y}+dT_y-\frac{p}{S}\cdot dl=0

dT_y=\frac{p}{S}\cdot dl

La última expresión obtenida indica en términos físicos que a medida que nos acerquemos a los extremos de sujección del conductor A y B la tensión mecánica aumentará. Por lo que, como resulta obvio:

T_y \neq cte

la componente vertical de la tensión aumenta conforme aumenta el valor de la ordenada (y).

catenaria

Por otro lado, un tramo considerado de conductor, de longitud dl está sometido a una tensión T y a su propio peso, por lo que podemos descomponer la tensión en sus dos componentes según unos ejes de coordenadas llegando a:

T_x=T \cdot cos \alpha = T \cdot \frac{dx}{dl}

T_y=T \cdot sen \alpha = T \cdot \frac{dy}{dl}

Como hemos supuesto al plano xy el plano sobre el cual se sitúan los puntos A y B, el término T_z=T \cdot \frac{dz}{dl} es nulo.

Al estar el sistema en equilibrio se tiene:

dT_x=0

dT_x=d(T \cdot cos \alpha) = d(T \cdot \frac{dx}{dl})=0

Como se sabe de cálculo elemental, la integral (o antiderivada) de 0 es una costante por definición ya que la derivada de una constante es 0. Teniendo en cuenta esto se verifica:

d(T \cdot \frac{dx}{dl})=0

T \cdot \frac{dx}{dl}=C

donde C es una constante de integración.

luego

T=C \cdot \frac{dl}{dx}

Recordemos que para un elemento infinitesimal su longitud viene descrita por la siguiente ecuación:

dl= \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=dx \cdot \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}

entonces, la expresión general de la tensión mecánica en el conductor será:

T=C \cdot \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}

Como se ha repetido, el sistema se encuentra en equilibrio por lo que:

dT_y=\frac{p}{S}dl

T_y=T \cdot \frac{dy}{dl}

por lo que se obtiene:

dT_y=d(T \cdot \frac{dy}{dl})=d(T \cdot \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dl})=\frac{p}{S}dl

\frac{d}{dl}(T \cdot \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dl})=\frac{p}{S}

Sustituimos ahora el valor obtenido para T (tensión mecánica en el conductor):

T=C \cdot \frac{dl}{dx}

resultando:

\frac{d}{dl}(C \cdot \frac{dl}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dl})=\frac{p}{S}

\frac{d}{dl}(C \cdot \frac{dy}{dx})=\frac{p}{S}

C \cdot \frac{d}{dl}(\frac{dy}{dx})=\frac{p}{S}

sustituyendo como antes el valor de dl:

\frac{C}{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}} \cdot\frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx})=\frac{p}{S}

definimos las variables u, \omega y h, siendo \omega el peso del hilo por unidad de longitud y sección:

u = \frac{dy}{dx}

\omega = \frac{dy}{dx}

h = \frac{C}{\frac{p}{S}}=\frac{C}{\omega}

tendremos que

\frac{C}{dx} \cdot \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\omega

\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{dx}{h}

Esta ecuación tiene dos soluciones posibles:

ln[u+\sqrt{1+u^2}]=\frac{x-x_0}{h}

ln[u+\sqrt{1+u^2}]=-\frac{x-x_0}{h}

determinaremos el valor de la constante de integración x_0 sabiendo que en el punto más bajo de la curva del hilo (vértice de la catenaria) la tangente es horizontal y, por tanto, en dicho vértice el valor de u es:

u_V=\frac{dy}{dx}=0

y por tanto, sustituyendo en cualquiera de las dos soluciones anteriormente obtenidas:

ln[0+\sqrt{1+0^2}]=\frac{x_V-x_0}{h}

\frac{x_V-x_0}{h}=0

Si se realiza un cambio en los ejes de coordenadas de forma que el eje de ordenadas pase por el vértice de la catenaria se tiene que x_V=0 y por tanto en la fórmula anterior se verifica necesariamente que la constante de integración tome un valor nulo (x_0=0):

\frac{0-x_0}{h}=0

x_V=0

vertice_catenaria

De esta forma, con x_V=0 es fácil obtener la ecuación de la catenaria. Aplicamos primeramente logaritmos neperarianos:

[u+\sqrt{1+u^2}]=e^{\frac{x}{h}}

[u+\sqrt{1+u^2}]=e^{-\frac{x}{h}}

ecuaciones que restadas miembro a miembro dan:

2u=e^{\frac{x}{h}}-e^{-\frac{x}{h}}

sustituyendo de nuevo el valor original de u e integrando:

2\frac{dy}{dx}=e^{\frac{x}{h}}-e^{-\frac{x}{h}}

dy=\frac{e^{\frac{x}{h}}-e^{-\frac{x}{h}}}{2} \cdot dx

\mathbf{y-y_0=\frac{h}{2}\cdot (e^{\frac{x}{h}}-e^{-\frac{x}{h}})=h \cdot \cosh{\frac{x}{h}}}

que es la ecuación de la catenaria.

Si situamos el eje de abscisas a una distancia del vértice de la catenaria de modo que se cumpla que y_V=h tenemos:

catenaria_final

h-y_0=h \cosh{\frac{0}{h}}=h \cdot 1

y_0=0

Entonces, la ecuación de la catenaria original se convierte en:

\mathbf{y=\frac{h}{2}\cdot (e^{\frac{x}{h}}-e^{-\frac{x}{h}})=h \cdot \cosh{\frac{x}{h}}}

Definimos a la catenaria con una serie de valores que se pueden observar en la imagen anterior:

  • Longitud del vano (a), o simplemente vano, es la distancia recta existente entre los puntos de amarre o engrape del conductor (puntos A y B).
  • Flecha (f) es la máxima distancia vertical entre la recta que une los puntos de sujeción de conductor y este. Se representa por la letra “f”.

Referencias

  1. Líneas eléctricas y transporte de energía eléctrica (Antonio Fayos Álvarez)
  2. Cálculo de líneas eléctricas aéreas de alta tensión (Julián Moreno Clemente)
  3. Cálculo y Diseño de Líneas Eléctricas de Alta Tensión (Pascual Simón Comín, Fernando Garnacho Vecino, Jorge Moreno Mohíno, Alberto González Sanz)

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Sobre el autor de esta entrada

José Fidel Zamora Carbó

Soy desarrollador web autodidacta y un enamorado de aprender. Después de 3 años como estudiante del grado en Física, dejé mis antiguos estudios para encontrar lo que realmente me apasiona, la Ingeniería Eléctrica. Actualmente estudio 3º del grado en Ingeniería Eléctrica en la UCLM.